Wenn alte Mails wieder eintrudeln dann würde ich fast behaupten, dass du nicht über den Postman empfängst (direkt SMTP), sondern über den Grabbing Server (POP3).
Lässt du "alte Mails" beim Provider liegen (x Tage)? Würde ich definitiv ausstellen, da du selber ein Mailsystem hast. Und wenn jemand anderes die Mails auch lesen soll, dass soll er sich am Webinterface von DAVID anmelden oder per EAS.
EDIT: Das Problem hatte ich auch mal bei einer älteren Instsallation. Da bleibt nur löschen der beim Hoster liegenden Mails - sofern dort nun noch welche sind und das deaktivieren der o.g. Option - IMO.