Grundsätzlich empfängt nur der david Server die Mails. Der Client verbindet sich mit dem Server, der einem nur die Dateien anzeigt, die auf dem Server liegen. Ähnlich einer SMB-Freigabe.
Wenn die Mails auf einem Client nicht angezeigt werden, auf einem anderen schon, klingt das erstmal für mich nach einem Problem der lokalen Installation des Clients.
Wenn man berücksichtigt, dass das System gerade migriert wurde, würde ich wetten, dass ein Client sich noch mit dem alten Server verbindet.
Im Client kannst du über das Menü oben links > Netzwerk > david Server prüfen, mit welchem Server du verbunden bist und auch eine neue Verbindung anlegen. Da kannst du am besten mal testweise die IP des neuen Server eingeben anstelle des DNS-Namens.
Für den Fall, dass die Mails teilweise bei dem einen Client ankommen, teilweise auf dem anderen, wird entweder ein Mail Polling (z.B. per POP3) auf dem alten Server aktiv sein, der abwechselnd mit dem neuen Server die Mails abruft und dann vom Provider löscht, oder, bei direktem Mail-Empfang, ein MX-Record noch nicht passen.
Zu dem Screenshot aus den Diensten:
Wenn der obere Abschnitt okay ist, sind die Listener aktiv. Der untere Abschnitt ist eher nichtssagend. Auch bei uns schlagen alle Tests fehl, obwohl alles einwandfrei funktioniert.